Maclaurin და რღვევა ზოგიერთი ფუნქციები

სწავლა მოწინავე მათემატიკის უნდა იცოდეს, რომ თანხა ძალაუფლების სერია ინტერვალში დაახლოების რიგი us, უწყვეტი და შეუზღუდავი რაოდენობის ჯერ დიფერენცირებული ფუნქცია. ჩნდება კითხვა: ეს არის შესაძლებელი ამტკიცებენ, რომ მოცემულ თვითნებური ფუნქცია f (x) - არის თანხა ძალაუფლების სერია? რომ არის, რა პირობებში f ჩარევისას f (x) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ძალა სერია? მნიშვნელობა ამ საკითხთან დაკავშირებით არის ის, რომ შესაძლებელია ჩანაცვლება დაახლოებით £ სასულიერო f (x) არის თანხა პირველი რამდენიმე თვალსაზრისით ძალაუფლების სერია, რომელიც არის მრავალწევრი. ასეთი ჩანაცვლება ფუნქცია არის საკმაოდ მარტივი გამოხატვის - მრავალწევრის - ეს არის მოსახერხებელი და გარკვეული პრობლემების გადაწყვეტის მათემატიკური ანალიზი, კერძოდ, საქმე ინტეგრალები გაანგარიშებისას დიფერენციალური განტოლებები და ა.შ. ...

დადასტურდა, რომ გარკვეული f-ii f (x), სადაც წარმოებულები (n + 1) -ე მიზნით შეიძლება იყოს გათვლილი, მათ შორის უკანასკნელი სიახლოვეს (α - R; x ₀ + R) წერტილი x = α სამართლიანი ფორმულა:

ეს ფორმულა სახელობის ცნობილი მეცნიერი Brooke ტეილორი. რიგი, რომელიც მიღებული წინა, ეწოდება Maclaurin სერია:

წესი, რომელიც შესაძლებელს ხდის წარმოების გაფართოების Maclaurin სერია:

1. განსაზღვრა წარმოებულები პირველი, მეორე, მესამე, ... მიზნით.
2. გამოთვალეთ რა არიან წარმოებულები at x = 0.
3. ჩანაწერების Maclaurin სერია ამ ფუნქციას, და შემდეგ, რათა დადგინდეს ინტერვალით დაახლოების.
4. განსაზღვრა ინტერვალი (-R; R), სადაც ნარჩენი ნაწილი ფორმულა Maclaurin

R _n (x) -> 0 n -> უსასრულობა. თუ რომელიმე არსებობს, ეს ფუნქცია f (x) უნდა იყოს ტოლი თანხა Maclaurin სერია.

ახლა განვიხილოთ, Maclaurin სერია ინდივიდუალური ფუნქციები.

1. ასე რომ, პირველი, f (x) = e ^x. რა თქმა უნდა, რომ მათი მახასიათებლები, ასე რომ f-ია უკვე გამომდინარეობს სხვადასხვა ბრძანებებს და f ^{(k) (x)} = e ^x, სადაც k უდრის ყველა ბუნებრივი ნომრები. შემცვლელი x = 0. ვიღებთ f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... აქედან გამომდინარე, რიგი e ^x ეს იქნება შემდეგნაირად:

2. Maclaurin სერია ფუნქცია f (x) = sin x. დაუყოვნებლივ დააკონკრეტა, რომ f ჩარევისას ყველა უცნობი წარმოებულები აქვს, გარდა ამისა, f ^(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{f '(x)} = -sin x = sin (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), სადაც k უდრის ნებისმიერი დადებითი მთელი რიცხვი. ეს არის ის, რაც მარტივი გათვლებით, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ სერია f (x) = sin x იქნება, როგორც ეს:

3. ახლა განვიხილოთ iju f-f (x) = cos x. უცნობია, ნაწარმოები ყველა თვითნებური მიზნით, და ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... ისევ, ის რომელმაც გარკვეული გათვლებით, ჩვენ ვხედავთ, რომ სერია f (x) = cos x ასე გამოიყურება:

ასე რომ, ჩვენ ჩამოთვლილი ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისებები, რომელიც შეიძლება გაფართოვდა Maclaurin სერია, მაგრამ ისინი ავსებენ Taylor სერია ზოგიერთი ფუნქციები. ახლა ჩვენ სიაში მათ ისევე. აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ Taylor სერია და Maclaurin სერიის მნიშვნელოვანი ნაწილი სემინარის სერია გადაწყვეტილებები უმაღლესი მათემატიკა. ასე რომ, Taylor სერია.

1. პირველი სერია f-ii f (x) = ln (1 + x). როგორც წინა მაგალითები, ამ ჩვენ f (x) = ln (1 + x) შეიძლება დაკეცილი რიგი გამოყენებით ზოგადი სახით Maclaurin სერია. მაგრამ ამ ფუნქციის Maclaurin შეიძლება მიღებული ბევრად უფრო ადვილია. აერთიანებს გეომეტრიული სერია, ჩვენ მიიღოს ნომერი f (x) = ln (1 + x) ნიმუში:

2. მეორე, რომელიც იქნება საბოლოო ამ სტატიაში იქნება სერია f (x) = arctg x. იყიდება x რომლებიც ინტერვალით [-1; 1] ძალაშია რღვევა:

ეს ყველაფერი. ამ სტატიაში მე გამოკითხულთა ყველაზე გავრცელებული Taylor სერია და Maclaurin სერია უმაღლესი მათემატიკის, კერძოდ, ეკონომიკური და ტექნიკური უნივერსიტეტები.