Differentials - რა არის ეს? როგორ მოვძებნოთ დიფერენცირებული ფუნქცია?

ერთად წარმოებულები მათი ფუნქციები განსხვავებები - ეს ზოგიერთი ძირითადი ცნებები დიფერენციალური სტატიის, ძირითად ნაწილში მათემატიკური ანალიზი. როგორც მჭიდროდ უკავშირდება, ორივე მათგანი რამდენიმე საუკუნის ფართოდ გამოიყენება გადაჭრის თითქმის ყველა პრობლემა, რომ გაჩნდა, რა თქმა უნდა, სამეცნიერო და ტექნიკური საქმიანობაში.

გაჩენის კონცეფცია დიფერენციალური

პირველად ნათელი გახადა, რომ ასეთი დიფერენციალური, ერთ-ერთი დამფუძნებელი (ერთად Isaakom Nyutonom) დიფერენციალურ მათემატიკურ ცნობილი გერმანელი მათემატიკოსი Gotfrid Vilgelm Leybnits. მანამდე მათემატიკოსები მე -17 საუკუნეში. გამოიყენება ძალიან გაურკვეველი და ბუნდოვანი იდეა ზოგიერთი უსასრულოდ "განუყოფელი" ნებისმიერი ცნობილი ფუნქცია, რომელიც წარმოადგენს ძალიან მცირე მუდმივი მნიშვნელობა, მაგრამ არა ნულის ტოლია, რომლის ქვემოთ აფასებს ფუნქცია არ შეიძლება, უბრალოდ. აქედან გამომდინარე, ეს იყო მხოლოდ ერთი ნაბიჯი დანერგვა ცნებები უსასრულოდ მდე ფუნქციის არგუმენტები და მათი მდე ფუნქცია, რომელიც შეიძლება გამოიხატოს წარმოებულები უკანასკნელს. და ეს ნაბიჯი იყო თითქმის ერთდროულად აღნიშნული ორი დიდი მეცნიერები.

დაყრდნობით, რომ საჭიროა გადაუდებელი პრაქტიკული მექანიკის პრობლემებზე, დაპირისპირება, მეცნიერება ვითარდება ინდუსტრიაში და ტექნიკა, Newton და ლაიბნიცმა ის საერთო გზები მოძიებაში ფუნქციების განაკვეთის ცვლილების (განსაკუთრებით მექანიკური სიჩქარე ორგანოს ცნობილი ტრაექტორია), რამაც დანერგვა ისეთი ცნებები, როგორც წარმოებული ფუნქცია და დიფერენციალური და ასევე ნაპოვნია ალგორითმი შებრუნებული პრობლემის გადაჭრა, როგორც ცნობილია, per se (ცვლადი) სიჩქარე გადიოდა, რათა იპოვოს გზა, რამაც გამოიწვია კონცეფცია განუყოფელი Ala.

სამუშაოები ლაიბნიცმა და ნიუტონის იდეა პირველი აღმოჩნდა, რომ განსხვავებები - პროპორციული ზრდა ძირითადი არგუმენტები Δh increments Δu ფუნქციები, რომელიც წარმატებით შეიძლება გამოყენებული გამოთვლა ღირებულება უკანასკნელს. სხვა სიტყვებით, მათ აღმოაჩინეს, რომ ნამატი ფუნქცია შეიძლება ნებისმიერ მომენტში (მისი სამფლობელოების განმარტება), გამოხატულია მისი წარმოებული, როგორც Δu = y '(x) Δh + αΔh სადაც α Δh - დარჩენილი ტენდენცია ნულოვანი Δh → 0, ბევრად უფრო სწრაფად, ვიდრე Δh.

მისი თქმით, დამფუძნებელი მათემატიკური ანალიზი, differentials - ეს არის ზუსტად პირველი ვადის მდე ნებისმიერი ფუნქციები. თუნდაც გარეშე მკაფიოდ განსაზღვრული ლიმიტი კონცეფცია sequences რომლებიც მიხვდნენ, ინტუიციურად, რომ დიფერენცირებული ღირებულების წარმოებული ტენდენცია ფუნქცია, როდესაც Δh → 0 - Δu / Δh → y '(x).

განსხვავებით Newton, რომელიც, პირველ რიგში, ფიზიკოსი და მათემატიკური აპარატის განიხილება, როგორც დამხმარე ინსტრუმენტი შესწავლა ფიზიკური პრობლემები, ლაიბნიცმა მეტი ყურადღება დაეთმო ამ ინსტრუმენტარიუმის, მათ შორის სისტემა ვიზუალური და გასაგები სიმბოლოები მათემატიკური ღირებულებებს. ეს იყო ის, რომელიც შემოთავაზებული სტანდარტული ნოტაცია differentials ფუნქცია dy = y '(x) dx, dx, და წარმოებული არგუმენტი ფუნქცია, როგორც მათი ურთიერთობა y' (x) = dy / dx.

თანამედროვე განმარტება

რა არის დიფერენცირებული თვალსაზრისით თანამედროვე მათემატიკა? ის მჭიდროდ არის დაკავშირებული კონცეფცია ცვლადი იყოს. იმ შემთხვევაში, თუ ცვლადი y იღებს პირველი ღირებულება y y = _1, მაშინ y = y _2, განსხვავება y ₂ ─ y ₁ ეწოდება ნამატი ღირებულება y. ნამატი შეიძლება იყოს დადებითი. უარყოფითი და ნულოვანი. სიტყვა "ნამატი" დანიშნული Δ, Δu ჩაწერა (წავიკითხე "დელტა y ') აღნიშნავს ღირებულება ბიჯი y. ასე Δu = y ₂ ─ y _1.

თუ ღირებულება Δu თვითნებური ფუნქცია y = f (x) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც Δu = A Δh + α, სადაც A არსებობს დამოკიდებულების Δh, t. E. A = const მოცემულ x, და ტერმინი α როდესაც Δh → 0 ტენდენცია ეს არის კიდევ უფრო სწრაფად, ვიდრე Δh, მაშინ პირველი ( "ოსტატი") ტერმინი პროპორციული Δh, და y = f (x) დიფერენცირებული, აღინიშნება dy ან df (x) (წაკითხული "y de", "de eff from X"). ამიტომ სხვაობა - "მთავარი" ხაზოვანი მიმართებაში კომპონენტების მდე Δh ფუნქციები.

მექანიკური ახსნა

მოდით = f (t) - მანძილი სწორი ხაზი მოძრავი მატერიალური წერტილი საწყისი პოზიცია (t - მოგზაურობის დროს). ნამატი Δs - არის გზა ეტაპზე დროის ინტერვალით Δt და დიფერენციალური ds = f '(t) Δt - ამ გზაზე, სადაც წერტილი გაიმართება ამავე დროს Δt, თუ შენარჩუნებული სიჩქარე f' (t), მიაღწია დროს t . როდესაც უსასრულოდ Δt ds მოჩვენებით გზას განსხვავდება ფაქტობრივი Δs infinitesimally მქონე უმაღლესი წესრიგის მიმართ Δt. თუ სიჩქარე დროს t არ არის ნულის ტოლია, სავარაუდო ღირებულება ds აძლევს მცირე კომპენსაცია წერტილი.

გეომეტრიული ინტერპრეტაცია

მოდით ხაზი L არის გრაფაში y = f (x). მაშინ Δ x = MQ, Δu = QM "(იხ. სურათი ქვემოთ). Tangent MN არღვევს Δu მოჭრილი ორ ნაწილად, QN და NM ". პირველი და Δh პროპორციული QN = MQ ∙ tg (კუთხე QMN) = Δh f '(x), ტ. E QN არის dy დიფერენციალის.

მეორე ნაწილი განსხვავება Δu NM'daet ─ dy, როდესაც Δh → 0 NM length 'მცირდება კი სწრაფად, ვიდრე ნამატი არგუმენტი, ანუ მას აქვს ბრძანებით მცირერიცხოვნობისა უფრო მაღალია, ვიდრე Δh. ამ შემთხვევაში, თუ f (x) ≠ 0 (არასამთავრობო პარალელურად ტანგესი OX) სეგმენტების QM'i QN ექვივალენტი; სხვა სიტყვებით NM 'მცირდება სწრაფად (ბრძანებით მცირერიცხოვნობისა მისი უფრო მაღალი), ვიდრე საერთო ნამატი Δu = QM. ეს არის აშკარა ფიგურა (ახლოვდება სეგმენტი M'k M NM'sostavlyaet ყველა მცირე პროცენტული QM "სეგმენტი).

ასე რომ, გრაფიკულად დიფერენციალის თვითნებური ფუნქცია ტოლია ნამატი, რომ კოორდინატთა of ტანგესი.

წარმოებული და დიფერენციალური

ფაქტორი პირველი ვადის გამოხატვის ნამატი ფუნქცია ტოლია ღირებულება მისი წარმოებული f '(x). ამდენად, შემდეგი მიზეზი - dy = f (x) Δh ან df (x) = f (x) Δh.

ცნობილია, რომ ნამატი დამოუკიდებელი არგუმენტი უდრის მისი დიფერენცირებული Δh = dx. შესაბამისად, შეგვიძლია დავწეროთ: f '(x) dx = dy.

მოძიება (ზოგჯერ განაცხადა, რომ "გადაწყვეტილება") Differentials ხორციელდება იმავე წესით, როგორითაც იმ წარმოებულები. სიაში მათ მოცემულია ქვემოთ.

რა არის უფრო უნივერსალური: ნამატი არგუმენტი ან მისი დიფერენცირებული

აქ აუცილებელია, რათა გარკვეული განმარტებები. წარმომადგენლობა მნიშვნელობა f '(x) დიფერენციალური Δh შესაძლებელი, როდესაც გათვალისწინებით x როგორც არგუმენტი. მაგრამ ფუნქცია შეიძლება იყოს კომპლექსური, რომელშიც x შეიძლება იყოს ფუნქცია არგუმენტი ტ. მაშინ წარმომადგენლობა დიფერენციალური გამოხატვის f '(x) Δh, როგორც წესი, შეუძლებელია; გარდა იმ შემთხვევაში, წრფივი დამოკიდებულება x = at + b.

როგორც ფორმულა f '(x) dx = dy, მაშინ იმ შემთხვევაში, დამოუკიდებელი არგუმენტი x (მაშინ dx = Δh) იმ შემთხვევაში, თუ პარამეტრული დამოკიდებულება x t, ეს არის დიფერენცირებული.

მაგალითად, გამოხატვის 2 x Δh არის y = x ² მისი დიფერენცირებული როცა x არგუმენტი. ჩვენ ახლა x = t ² და ვივარაუდოთ, t არგუმენტი. მაშინ y = x ² = t ^4.

ეს მოჰყვა (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. აქედან გამომდინარე Δh = 2tΔt + Δt ^2. აქედან გამომდინარე: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

ეს გამოთქმა არ არის პროპორციული Δt, და ამიტომ არის 2xΔh არ არის დიფერენცირებული. იგი გვხვდება განტოლება y = x ² = t ^4. უდრის dy = 4t ³ Δt.

თუ ავიღებთ გამოხატვის 2xdx, ეს არის დიფერენცირებული y = x ² ნებისმიერი არგუმენტი ტ. მართლაც, როდესაც x = t ² მიიღოს dx = 2tΔt.

ასე რომ, 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. გამოხატვის differentials ჩაწერა ორ სხვადასხვა ცვლადები ემთხვევა.

შეცვლის მდე განსხვავებები

თუ f (x) ≠ 0, მაშინ Δu და dy ექვივალენტი (როდესაც Δh → 0); თუ f (x) = 0 (მნიშვნელობა და dy = 0), ისინი არ არიან ექვივალენტი.

მაგალითად, თუ y = x ^2, მაშინ Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² და dy = 2xΔh. თუ x = 3, მაშინ ჩვენ გვაქვს Δu = 6Δh + Δh ² და dy = 6Δh, რომელიც უდრის გამო Δh ² → 0, როცა x = 0 მნიშვნელობა Δu = Δh ² და dy = 0 არ არიან ექვივალენტი.

ეს ფაქტი, ერთად მარტივი სტრუქტურა დიფერენცირებული (მ. E. ხაზობრიობა მიმართებაში Δh), ხშირად გამოიყენება სავარაუდო გაანგარიშება, ვარაუდი, რომ Δu ≈ dy მცირე Δh. ძებნა დიფერენციალური ფუნქცია, როგორც წესი, უფრო ადვილია, ვიდრე გამოვთვალოთ ზუსტი ღირებულება იყოს.

მაგალითად, ჩვენ გვაქვს მეტალიკი cube პირას x = 10.00 სმ. გათბობის ზღვარზე სიგრძივი on Δh = 0.001 სმ. როგორ გაიზარდა მოცულობა კუბურ V? ჩვენ გვყავს V = x ^2, ასე რომ DV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ ⁰ 10 2/01 = 3 (სმ ^3). გაზრდილი ΔV ექვივალენტი დიფერენციალური DV, რომ ΔV = 3 სმ ^3. სრული გაანგარიშება მისცემს ΔV = 10,01 ─ ³ 10 ³ = 3.003001. მაგრამ ყოველივე ამის შედეგად, ციფრები გარდა პირველი არასანდო; ამიტომ, ეს არის კიდევ საჭირო მრგვალ 3 სმ ^3.

ცხადია, ეს მიდგომა არის სასარგებლო მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს შესაძლებელია შეფასდეს ღირებულების ვიღებთ შეცდომა.

დიფერენციალური ფუნქცია: მაგალითები

მოდით ცდილობენ იპოვონ დიფერენციალური ფუნქცია y = x ^3, მოძიებაში წარმოებული. მოდით მივცეთ არგუმენტი ნამატი Δu და განსაზღვრავს.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

აქ, კოეფიციენტი A = 3x ² არ არის დამოკიდებული Δh, ისე, რომ პირველი ვადის პროპორციული Δh, სხვა წევრ 3xΔh Δh ² + ³ როდესაც Δh → 0 მცირდება უფრო სწრაფად, ვიდრე ნამატი არგუმენტი. შესაბამისად, წევრი 3x ² Δh არის დიფერენცირებული y = x ^3:

dy = 3x ² Δh = 3x ² dx ან d (x ³⁾ = 3x ² dx.

რაში d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy ჩვენ ახლა ფუნქცია y = 1 / x მიერ წარმოებული. მაშინ d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. ამიტომ dy = ─ Δh / x ^2.

Differentials ძირითადი ალგებრული ფუნქციები მოცემულია ქვემოთ.

მიახლოებითი გათვლებით გამოყენებით დიფერენციალური

შესაფასებლად ფუნქცია f (x) და მისი წარმოებული f '(x) at x = a ხშირად რთულია, მაგრამ ამის გაკეთება იმავე მიდამოებში x = a არ არის ადვილი. მაშინ მოვიდა დახმარების სავარაუდო გამოხატვის

f (a + Δh) ≈ f '(a) Δh + f (a).

ეს იძლევა სავარაუდო ღირებულება ფუნქცია მცირე მდე თავისი დიფერენციალური Δh f '(a) Δh.

აქედან გამომდინარე, ეს ფორმულა უზრუნველყოფს სავარაუდო გამოხატვის ფუნქცია ბოლოს წერტილი ნაწილი სიგრძე Δh როგორც თანხა მისი ღირებულება ამოსავალი წერტილი ნაწილი (x = a) და დიფერენციალური იგივე ამოსავალი წერტილი. სიზუსტე მეთოდით განსაზღვრის ღირებულებები ფუნქცია ქვემოთ გვიჩვენებს ნახაზი.

თუმცა ცნობილია, და ზუსტი გამოხატვის მნიშვნელობა ფუნქციის x = a + Δh მიერ მოცემული ფორმულა სასრულ მდე (ან, სხვაგვარად, Lagrange ფორმულა)

f (a + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (a),

სადაც წერტილი x = a + ξ არის ინტერვალი x = a + x = a + Δh, თუმცა მისი ზუსტი პოზიცია უცნობია. ზუსტი ფორმულა საშუალებას შევაფასოთ შეცდომა მიახლოებითი ფორმულა. თუ ჩვენ დააყენა Lagrange ფორმულა ξ = Δh / 2, მიუხედავად იმისა, რომ ის აღარ უნდა იყოს ზუსტი, მაგრამ იძლევა, როგორც წესი, ბევრად უკეთესი მიდგომა, ვიდრე ორიგინალური გამოხატვის დიფერენციალური.

შეფასების ფორმულები შეცდომა გამოყენებით დიფერენციალური

საზომი ინსტრუმენტები , პრინციპში, არასწორი, და მოუტანს გაზომვა მონაცემები შესაბამისი შეცდომა. ისინი ხასიათდება შეზღუდვის აბსოლუტური ცდომილება, ან, მოკლედ, ლიმიტი შეცდომა - დადებითი, მკვეთრად აღემატება შეცდომა აბსოლუტური ღირებულება (ან ყველაზე თანაბარი იგი). შეზღუდვის შედარებითი შეცდომა ეწოდება განაყოფის ტებში ეს აბსოლუტური ღირებულება იზომება ღირებულება.

მოდით ზუსტი ფორმულა y = f (x) ფუნქცია გამოიყენება vychislyaeniya y, მაგრამ ღირებულება x არის გაზომვა შედეგი, და ამიტომ მოაქვს y შეცდომა. მაშინ, რათა იპოვოს შეზღუდვის აბსოლუტური ცდომილება │Δu│funktsii y, გამოყენებით ფორმულა

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

სადაც │Δh│yavlyaetsya ზღვრული შეცდომა არგუმენტი. │Δu│ რაოდენობა უნდა იყოს მომრგვალებული upwards, როგორც არასწორი გაანგარიშება თავად არის ჩანაცვლება ნამატი on დიფერენციალური გაანგარიშებით.