Სისტემა ხაზოვანი ალგებრულ განტოლებათა. ერთგვაროვანი სისტემა ხაზოვანი ალგებრულ განტოლებათა

სკოლაში, თითოეულ ჩვენგანს სწავლობდა განტოლება და, რა თქმა უნდა, განტოლებათა სისტემის. მაგრამ არა ბევრი ადამიანი ვიცი, რომ არსებობს რამდენიმე მათი გადაჭრის გზებზე. დღეს ვნახავთ ზუსტად ყველა მეთოდები გადაჭრის სისტემა ხაზოვანი ალგებრულ განტოლებათა, რომელიც შედგება ორზე მეტი განტოლებები.

ამბავი

დღეს ჩვენ ვიცით, რომ ხელოვნების გადაჭრის განტოლებები და მათი სისტემების წარმოშობილი ბაბილონსა და ეგვიპტეში. თუმცა, თანასწორობის ნაცნობი სახით გამოგვეცხადა შემდეგ კლების თანაბარი ნიშანი "=", რომელიც შემოღებულ იქნა 1556 წელს ინგლისურ მათემატიკოსი ჩანაწერი. სხვათა შორის, ეს სიმბოლო შეირჩა მიზეზი: ეს იმას ნიშნავს, ორი პარალელური თანაბარი სეგმენტების. მართლაც, საუკეთესო მაგალითია თანასწორობა არ ამუშავება.

დამფუძნებელი თანამედროვე lettering და სიმბოლოები უცნობი მასშტაბით, ფრანგი მათემატიკოსი Fransua Viet. თუმცა, მისი დანიშნულება მნიშვნელოვნად განსხვავდება დღეს. მაგალითად, მოედანზე უცნობი რაოდენობის ის მიერ დანიშნული წერილი Q (lat "კოდრატესა".), და კუბი - ასო C (lat "Cubus".). ეს სიმბოლოები ახლა, როგორც ჩანს, არასასიამოვნო, მაგრამ მაშინ ეს იყო ყველაზე ინტუიციური გზა დაწერა სისტემის წრფივი ალგებრული განტოლებები.

თუმცა, მინუსი გაბატონებული მეთოდები გამოსავალი იყო, რომ მათემატიკოსები არ ითვლება მხოლოდ დადებითი ფესვები. ალბათ ეს არის იმის გამო, რომ უარყოფითი არ აქვს რაიმე პრაქტიკული გამოყენების. ერთი გზა ან სხვა, მაგრამ პირველი უნდა ჩაითვალოს უარყოფითი ფესვები შემდეგ დაიწყო იტალიური მათემატიკის ნიკოლო Tartaglia, Gerolamo Cardano და რაფაელ Bombelli მე -16 საუკუნეში. თანამედროვე სახე, ძირითადი მეთოდი გადაჭრის კვადრატული განტოლებები (მეშვეობით discriminant) დაარსდა მხოლოდ მე -17 საუკუნის სამუშაოები დეკარტი და ნიუტონი.

შუა მე -18 საუკუნის შვეიცარიის მათემატიკოსი Gabriel Cramer იპოვეს ახალი გზა, რათა გამოსავალი სისტემების წრფივი ადვილია. ეს მეთოდი მოგვიანებით დაასახელა მას, და ამ დღეს ვიყენებთ მას. მაგრამ მეთოდით Kramer თოქ ცოტა მოგვიანებით, მაგრამ ახლა ჩვენ განვიხილავთ წრფივი და მათი გადაწყვეტილებები ცალკე სისტემა.

წრფივი

წრფივი - მარტივი განტოლება ცვლადი (s). ისინი მიეკუთვნებიან ალგებრული. წრფივი დაწერილი ზოგადი სახით შემდეგნაირად: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... და _n * x _n = b. წარდგენის ეს ფორმა ჩვენ უნდა მომზადება სისტემები და მატრიცების შესახებ.

სისტემა ხაზოვანი ალგებრულ განტოლებათა

განსაზღვრება ეს ტერმინი: კომპლექტი განტოლებები, რომელთაც აქვთ საერთო უცნობი და ზოგადად გადაწყვეტა. როგორც წესი, სკოლაში ყველა მოგვარდეს სისტემის ორი ან თუნდაც სამი განტოლებები. მაგრამ არსებობს სისტემები, ოთხი ან მეტი კომპონენტი. ვნახოთ, პირველი, თუ როგორ უნდა დაწეროთ მათ ქვემოთ ისე, რომ მოგვიანებით, ეს იყო მოსახერხებელი უნდა გადაწყვიტოს. პირველ რიგში, სისტემა ხაზოვანი ალგებრულ განტოლებათა გამოიყურება უკეთესი თუ ყველა ცვლადები იწერება, როგორც x შესაბამის ინდექსი: 1,2,3 და ასე შემდეგ. მეორე, ეს უნდა მოჰყვეს ყველა განტოლებები კანონიკური ფორმა: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... და _n * x _n = b.

მას შემდეგ, რაც ყველა ეს ნაბიჯი, ჩვენ დავიწყებთ გითხრათ, თუ როგორ, რათა იპოვოს გამოსავალი სისტემების წრფივი. ძალიან ბევრი, რომელიც მოდის მოსახერხებელი matrix.

matrix

Matrix - მაგიდა, რომელიც შედგება რიგები და სვეტები, და მისი ელემენტები მათი კვეთა. ეს შეიძლება იყოს კონკრეტული მნიშვნელობა ან ცვლადი. უმეტეს შემთხვევაში, დანიშნოს ელემენტები, რომლებიც მოწყობილი ქვეშ subscripts (მაგალითად, ₁₁ ან ₂₃ კარგად). პირველი ინდექსი მიუთითებს რიგის ნომერი, და მეორე - სვეტი. ზემოთ მატრიცების, როგორც ზემოთ და სხვა ნებისმიერი მათემატიკური ელემენტს შეუძლია შეასრულოს სხვადასხვა ოპერაციები. ამდენად, თქვენ შეგიძლიათ:

1) სხვაობა და დაამატოთ იგივე ზომის მაგიდაზე.

2) გაამრავლეთ matrix ნებისმიერი ნომერი ან ვექტორი.

3) Transpose: გარდაქმნის matrix ხაზები სვეტები და სვეტების - ხაზი.

4) გაამრავლეთ matrix, თუ სტრიქონების რაოდენობა უდრის ერთი მათგანი სხვადასხვა რაოდენობის სვეტი.

დეტალურად განიხილოს ყველა ამ ტექნიკას, რადგან ისინი გამოგვადგება მომავალში. გამოკლება და დამატებით მატრიცების ძალიან მარტივია. მას შემდეგ, რაც ჩვენ ვიღებთ იგივე ზომის მატრიცა, თითოეული ელემენტის ერთ მაგიდასთან დაკავშირებული ყველა სხვა ელემენტს. აქედან გამომდინარე, ჩვენ დაამატოთ (სხვაობა) ორ ელემენტები (მნიშვნელოვანია, რომ ისინი იდგნენ იგივე ადგილზე მათი მატრიცების). როდესაც მრავლდება მატრიცის ან ვექტორი თქვენ უბრალოდ გამრავლების თითოეული ელემენტის matrix, რომ ნომერი (ან ვექტორი). Transposition - ძალიან საინტერესო პროცესი. ძალიან საინტერესო, ზოგჯერ, რომ მას რეალურ ცხოვრებაში, მაგალითად, მაშინ, როდესაც იცვლება ორიენტაცია ტაბლეტი ან ტელეფონი. ხატები desktop არის matrix, და შეცვლის პოზიციას, ეს არის გადმოტანილი და უფრო შესამჩნევი ხდება, მაგრამ მცირდება სიმაღლეზე.

მოდი, ვნახოთ, უფრო პროცესი, როგორიცაა matrix გამრავლება. მიუხედავად იმისა, რომ მან გვითხრა, და არ არის საჭირო, მაგრამ უნდა იცოდეს, რომ ეს მაინც სასარგებლო. Multiply ორი მატრიცის შეიძლება მხოლოდ იმ პირობით, რომ ნომერი სვეტების ერთ მაგიდასთან ტოლია რაოდენობის რიგები სხვა. ახლა ერთი matrix ონლაინ ელემენტები და სხვა ელემენტების შესაბამის სვეტში. გაამრავლეთ მათ ერთმანეთს და შემდეგ თანხა (ანუ, მაგალითად, პროდუქტის ელემენტების ₁₁ და ₁₂ და ₁₂ B და ₂₂ ბ ტოლი იქნება: ა * ბ _{11 12} + ₁₂ * ბ და _22). ამდენად, ერთ მაგიდასთან პუნქტის, და მეთოდი მსგავსი ივსება შემდგომი.

ახლა ჩვენ დავიწყებთ განიხილოს, თუ როგორ უნდა გადაწყვიტოს სისტემების წრფივი.

gauss

ეს თემა დაიწყო გაიმართება სკოლაში. ჩვენ ძალიან კარგად ვიცით, რომ კონცეფციის "სისტემის ორი წრფივი განტოლებების" და ვიცი, როგორ გადაჭრა. მაგრამ რა, თუ რაოდენობის განტოლებათა მეტია, ვიდრე ორი? ეს დაგვეხმარება Gauss მეთოდი.

რა თქმა უნდა, ეს მეთოდი მოსახერხებელია, თუ მატრიცის სისტემა. მაგრამ თქვენ ვერ გარდაქმნას და გადაწყვიტოს საკუთარი.

ასე რომ, თუ როგორ უნდა გადაწყვიტოს ეს სისტემა წრფივი Gauss? სხვათა შორის, მიუხედავად იმისა, რომ ამ მეთოდით და მის სახელს ატარებს, მაგრამ აღმოაჩინა, რომ ძველად. Gauss აქვს ოპერაცია ხორციელდება განტოლებები, რომ საბოლოოდ აღქმა, რომ echelon ფორმა. ეს არის ის, რომ თქვენ უნდა ზემოდან ქვემოთ (თუ სწორად განათავსონ) პირველი და ბოლო განტოლება შემცირდა ერთი უცნობი. სხვა სიტყვებით, ჩვენ უნდა დავრწმუნდეთ, რომ ჩვენ მივიღეთ, ვთქვათ, სამი განტოლებები: პირველი - სამ უცნობ, მეორე - ორი მესამე - ერთი. ამის შემდეგ, ბოლო განტოლება, ჩვენ პირველი უცნობია, შეიცვალა მისი ღირებულება მეორე ან პირველი განტოლება და შემდგომი ნახავთ დარჩენილი ორი ცვლადი.

Cramer მმართველობის

განვითარების ეს ტექნიკა ძალიან მნიშვნელოვანია, რომ დაეუფლონ უნარების გარდა ამისა, გამოკლება მატრიცებს, ისევე, როგორც, რომ საჭიროა შევძლოთ დეტერმინანტები. აქედან გამომდინარე, თუ თქვენ არასასიამოვნო ამით ყველა და არ ვიცი, როგორ, აუცილებელია, რომ ისწავლონ და მომზადება.

რა არის არსი ამ მეთოდით, და როგორ უნდა გავაკეთოთ ისე, რომ მიიღოთ სისტემის წრფივი Cramer? ეს ძალიან მარტივია. ჩვენ უნდა ავაშენოთ matrix ნომრები (თითქმის ყოველთვის) კოეფიციენტების სისტემა ხაზოვანი ალგებრულ განტოლებათა. ამისათვის, უბრალოდ მიიღოს რაოდენობის უცნობია, და ჩვენ მოწყობა მაგიდაზე იმისათვის, რომ ისინი ჩაწერილი სისტემა. თუ ადრე რიცხვი არის ნიშანი "-", მაშინ ჩვენ წერენ უარყოფითი კოეფიციენტი. ასე რომ, ჩვენ მივიღეთ პირველი მატრიცა კოეფიციენტების unknowns, არ მათ შორის, მას შემდეგ, რაც თანაბარი ნიშანი (რა თქმა უნდა, რომ განტოლება უნდა შემცირდეს კანონიკური ფორმა, როდესაც მარჯვენა არის მხოლოდ ნომერი და მარცხენა - ყველა unknowns ერთად კოეფიციენტები). მაშინ თქვენ უნდა მიიღოს რამდენიმე მატრიცების - ერთი თითოეული ცვლადი. ამ მიზნით, პირველ matrix შეიცვალა ერთი სვეტი თითოეული სვეტის ნომრები კოეფიციენტების შემდეგ თანაბარი ნიშანი. აქედან გამომდინარე, ჩვენ კიდევ რამდენიმე მატრიცების და შემდეგ მათი განმსაზღვრელი ფაქტორი.

მას შემდეგ, რაც ჩვენ აღმოვაჩინეთ შესარჩევ, ეს პატარა. ჩვენ მივიღეთ წინასწარი matrix, და არსებობს რამდენიმე მომდინარეობს მატრიცების, რომელიც შეესაბამება სხვადასხვა ცვლადები. იმისათვის, რომ მიიღოთ სისტემის გადაწყვეტა, ჩვენ ყოფს განმსაზღვრელი შედეგად მაგიდა ძირითადი განმსაზღვრელია მაგიდასთან. შედეგად ნომერი ღირებულება ერთი ცვლადი. ანალოგიურად, ჩვენ ყველა unknowns.

სხვა მეთოდები

არსებობს რამდენიმე მეთოდი, რათა მოიპოვოს გამოსავალი სისტემების წრფივი. მაგალითად, ე.წ. Gauss-იორდანიის მეთოდი, რომელიც გამოიყენება გადაჭრის სისტემის კვადრატული განტოლებები და ასევე ეხება გამოყენების მატრიცების. არსებობს ასევე Jacobi მეთოდი გადაჭრის სისტემა ხაზოვანი ალგებრულ განტოლებათა. მან ადვილად იყენებს ყველა კომპიუტერი და გამოიყენება გამოთვლითი.

რთული შემთხვევა

სირთულე, როგორც წესი, ხდება თუ რაოდენობის განტოლებათა არის ნაკლები რაოდენობის ცვლადები. მაშინ ჩვენ რა თქმა უნდა ვთქვა, რომ, თუ სისტემა არ შეესაბამება (ანუ, არ აქვს ფესვები), ან რიცხვი მისი გადაწყვეტილებები ტენდენცია უსასრულობა. თუ ჩვენ გვაქვს მეორე შემთხვევაში - ეს არის აუცილებელი, რომ წერენ ზოგადი გადაწყვეტა სისტემის წრფივი. იგი მოიცავს მინიმუმ ერთი ცვლადი.

დასკვნა

აქ მოვიდა ბოლომდე. შეჯამება: ჩვენ უნდა გვესმოდეს, რა სისტემა matrix, ცნობილი გახდა, რომ იპოვოს საერთო გადაწყვეტა სისტემის წრფივი. გარდა ამისა, ჩვენ განიხილება სხვა ვარიანტი. ჩვენ figured, თუ როგორ უნდა გადაწყვიტოს სისტემების წრფივი: გაუსის აღმოფხვრა და Cramer წესით. ჩვენ ვისაუბრეთ რთულ შემთხვევებში და სხვა გზები გადაჭრის.

ფაქტობრივად, ეს საკითხი ბევრად უფრო ფართო, და თუ გსურთ, რათა უკეთ გავიგოთ ის, რომ ჩვენ გირჩევთ, რომ წაიკითხოთ მეტი სპეციალიზებული ლიტერატურა.