Გეომეტრიული პროგრესიით. მაგალითად, გადაწყვეტილება

განვიხილოთ a row.

7 28 112 448 1792 ...

საკმაოდ ნათლად აჩვენებს ღირებულების ნებისმიერი მისი ელემენტების მეტი, ვიდრე წინა ზუსტად ოთხჯერ. ასე რომ, ეს სერია არის პროგრესია.

გეომეტრიული პროგრესით მოუწოდა უსასრულო მიმდევრობა ნომრები, მთავარი ფუნქცია, რომელიც არის, რომ შემდეგ ნომერზე მიღებული ზემოთ გამრავლებით მიერ გარკვეული რაოდენობა. ეს გამოიხატება ფორმულით.

_{ჩ +1 = a z · q} , სადაც z - ნომერი შერჩეული ელემენტს.

შესაბამისად, z ∈ N.

იმ დროს, როდესაც სკოლაში სწავლობდა გეომეტრიული პროგრესიით - მე -9 კლასის. მაგალითები დაეხმარება მესმის კონცეფცია:

0.25 0.125 0.0625 ...

18 თებერვალს 6 ...

დაყრდნობით ამ ფორმულის, პროგრესირებას მნიშვნელი შეიძლება დაადგინა შემდეგი:

არც q, ან ბ _z ვერ იქნება ნულოვანი. გარდა ამისა, თითოეულ ელემენტების სერია ნომრები პროგრესიით არ უნდა იყოს ნულოვანი.

შესაბამისად, იმისათვის, რომ ნახოთ შემდეგი ნომერი, ნომერი, გამრავლების ამ უკანასკნელის მიერ ქ.

განისაზღვროს ამ პროგრესიით, თქვენ უნდა მიუთითოთ პირველ ელემენტს და მნიშვნელი. მას შემდეგ, რაც შესაძლებელია ნებისმიერ შემდეგ წევრები და მათი ოდენობა.

სახეობების

დამოკიდებულია q და _1, ამ პროგრესული იყოფა რამდენიმე ტიპის:

• თუ _{1 და} q მეტია, ვიდრე ერთი, მაშინ თანმიმდევრობა - იზრდება ყოველი მომდევნო ელემენტს გეომეტრიული პროგრესიით. მაგალითები მათი ქვემოთ.

მაგალითად: ₁ = 3, q = 2 - უფრო მეტი, ვიდრე ერთობა, როგორც პარამეტრებს.

მაშინ თანმიმდევრობა ნომრები შეიძლება ჩაიწეროს როგორც:

3 6 12 24 48 ...

• თუ | q | ნაკლებია, ვიდრე ერთი, ანუ უდრის გამრავლების სამმართველოს, პროგრესირებას მსგავსი პირობები - მცირდება გეომეტრიული პროგრესიით. მაგალითები მათი ქვემოთ.

მაგალითად: ₁ = 6, q = 1/3 - ₁ მეტია, ვიდრე ერთი, q - ნაკლები.

მაშინ თანმიმდევრობა ნომრები შეიძლება იწერება შემდეგნაირად:

6 2 2/3 ... - ნებისმიერ ელემენტს მეტი ელემენტები შემდეგ ეს, 3-ჯერ.

• მონაცვლეობით. თუ q <0, ნიშნები ნომრები თანმიმდევრობით მონაცვლეობით მუდმივად მიუხედავად _{1 და} ელემენტს ზრდა ან კლება.

მაგალითად: ₁ = -3, q = -2 - ორივე ნაკლები ნულოვანი.

მაშინ თანმიმდევრობა ნომრები შეიძლება ჩაიწეროს როგორც:

3, 6, 12, 24, ...

ფორმულა

მოსახერხებელი გამოყენება, არსებობს მრავალი გეომეტრიული progressions ფორმულები:

• ფორმულა z-th ვადით. ეს საშუალებას აძლევს გაანგარიშება ელემენტს კონკრეტული რაოდენობის გარეშე გაანგარიშების წინა ნომრები.

მაგალითი: q = 3, a = ₁ 4. საჭირო გამოთვლა მეოთხე ელემენტს პროგრესია.

Solution: a = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• თანხა პირველი ელემენტები, რომელთა რიცხვი უდრის z. ეს საშუალებას აძლევს გაანგარიშება თანხა ყველა ელემენტების თანმიმდევრობა რომ _z ჩათვლით.

≠ 0, რითაც, Q არ არის 1 - (რ 1) მას შემდეგ, რაც (1 q) არის მნიშვნელში, მაშინ.

შენიშვნა: თუ q = 1, მაშინ პროგრესული იქნებოდა წარმოდგენილი რიგი უსასრულოდ იმეორებს ნომერი.

თანხა exponentially მაგალითები: ₁ = 2, q = -2. დათვლა S _5.

Solution: S ₅ = 22 - გამოთვლის ფორმულა.

• თანხა, თუ | q | <1 და როდესაც z ტენდენცია უსასრულობა.

მაგალითად: ₁ = _2, q = 0.5. ს თანხა.

Solution: S _z = 2 x = 4

თუ დავითვლით თანხა რამდენიმე წევრი სახელმძღვანელო, თქვენ ნახავთ, რომ ეს მართლაც ერთგული ოთხი.

S _z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0,125 + 0.0625 = 3.9375 4

ზოგიერთი თვისებები:

• დამახასიათებელი ქონება. თუ შემდეგი პირობა ფლობს ნებისმიერი z, მაშინ მოცემული რიცხვითი სერია - გეომეტრიული პროგრესიით:

_ჩ ² = A _{z -1} · A _{z + 1}

• ეს არის ასევე მოედანზე ნებისმიერი რაოდენობის exponentially საშუალებით დამატებით მოედნები სხვა ორ ნომრები ნებისმიერ row, თუ ისინი ერთნაირად საწყისი ელემენტს.

² _z = a _{z - t} ² _{+ ჩ} + _t ^2, სადაც t - შორის მანძილი ამ ნომრებზე.

• ელემენტები განსხვავდება q ჯერ.
• Logarithms ელემენტები პროგრესიით ასევე შექმნან პროგრესული, მაგრამ არითმეტიკა, რომ არის, თითოეული მათგანი უფრო მეტია, ვიდრე წინა ერთი გარკვეული რაოდენობა.

მაგალითი ზოგიერთი კლასიკური პრობლემები

იმისათვის, რომ უკეთ გავიგოთ, რა გეომეტრიული პროგრესიით, გადაწყვეტილებით მაგალითები grade 9 შეიძლება დაეხმაროს.

• პირობები: ₁ = 3, ₃ = 48. ძებნა ქ.

Solution: ყოველი მომდევნო ელემენტს მეტი, ვიდრე წინა q დრო. ეს აუცილებელია, რათა გამოხატოს ზოგიერთი ელემენტების სხვა გავლით მნიშვნელი.

შესაბამისად, ₃ = q ² · ₁

როდესაც შემცვლელი q = 4

• პირობები: ₂ = 6, a = ₃ 12. დათვლა S _6.

Solution: ამისათვის, საკმარისია, რათა იპოვოს q, პირველ ელემენტს და შემცვლელი ფორმულაში.

₃ = q · _2, შესაბამისად, q = 2

₂ = q · A _1, a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. ს მეოთხე ელემენტს პროგრესია.

Solution: ეს არის საკმარისი იმისათვის, რომ გამოხატოს მეოთხე ელემენტს პირველი მეშვეობით და მნიშვნელი.

₄ ³ = q · = ₁ -80

გამოყენების მაგალითი:

• ბანკის კლიენტი ხელი შეუწყო თანხა 10,000 რუბლი, რომლის ყოველწლიურად კლიენტს ძირითადი თანხა დაემატება 6%, თუმცა. რამდენი ფული ანგარიშზე 4 წლის შემდეგ?

Solution: საწყის თანხას 10 ათასი რუბლი. ასე რომ, ერთი წლის შემდეგ ინვესტიციების ანგარიში იქნება ოდენობით 10000 + 10000 = 10000 · 0.06 · 1.06

შესაბამისად, თანხა ანგარიშზე კი ერთი წლის შემდეგ იქნება შემდეგნაირად გამოიხატება:

(10000 · 1.06) · 10000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1.06 · 10000

რომ არის, ყოველ წელს თანხა გაიზარდა 1.06-ჯერ. აქედან გამომდინარე, რათა იპოვოს და ანგარიშის ნომერს 4 წლის შემდეგ, საკმარისია, რათა იპოვოს მეოთხე ელემენტს პროგრესული, რომელიც ენიჭება პირველ ელემენტს ტოლია 10 ათასი, ხოლო მნიშვნელი ტოლია 1.06.

S = 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 = 12625

მაგალითები პრობლემები გამოთვლაში თანხა:

სხვადასხვა პრობლემები გამოყენებით გეომეტრიული პროგრესიით. მაგალითად მოძიებაში თანხა შეიძლება შემდეგნაირად:

₁ = 4, q = 2, გამოთვალოთ S _5.

Solution: ყველა საჭირო მონაცემები გაანგარიშება ცნობილია, უბრალოდ ჩაანაცვლებს მათ ფორმულა.

S ₅ = 124

• ₂ = 6, a = ₃ 18. გამოითვალეთ თანხა პირველი ექვსი ელემენტები.

გამოსავალი:

Geom. პროგრესი თითოეული ელემენტის შემდეგი აღემატება წინა q ჯერ, რომ არის, გამოვთვალოთ თანხა თქვენ უნდა იცოდეს, ელემენტს ₁ და მნიშვნელი ქ.

₂ · q = ₃

q = 3

ანალოგიურად, უნდა იპოვოს _{1, 2} და იცის, ქ.

₁ · Q = ₂

₁ = 2

და მაშინ საკმარისია შეიცვალა ცნობილი მონაცემების ფორმულა თანხა.

S ₆ = 728.