Ხაზოვანი და ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლება პირველი მიზნით. მაგალითები გადაწყვეტილებები

მე ვფიქრობ, რომ ჩვენ უნდა დავიწყოთ ისტორიის დიდებული მათემატიკური ინსტრუმენტი, დიფერენციალური განტოლებები. ისევე როგორც ყველა დიფერენციალური და ინტეგრალური აღრიცხვის, ამ განტოლებების იყო გამოგონილი Newton გვიან მე -17 საუკუნეში. იგი თვლიდა, რომ ეს იყო მისი აღმოჩენა ძალიან მნიშვნელოვანია, რომ თუნდაც დაშიფრული წერილი, რომელიც დღეს შეიძლება ითარგმნოს, როგორც შემდეგნაირად: "ყველა კანონზომიერი აღწერილი დიფერენციალური განტოლებები." ეს შეიძლება, როგორც ჩანს, გაზვიადება, მაგრამ ეს სიმართლეა. ნებისმიერი კანონი, ფიზიკის, ქიმიის, ბიოლოგიის, შეიძლება შეფასდეს ამ განტოლებები.

უზარმაზარი წვლილი შეიტანა განვითარებაში და შექმნა თეორია დიფერენციალური განტოლებები აქვს მათემატიკის Euler და Lagrange. უკვე მე -18 საუკუნეში აღმოაჩინეს და განვითარებული, რასაც ახლა სწავლობს უფროსი უნივერსიტეტის კურსებს.

ახალი ერა შესწავლა დიფერენციალური განტოლებები დაიწყო წყალობით ანრი Puankare. მან შექმნა "თვისობრივი თეორია დიფერენციალური განტოლებები", რომელიც, ერთად თეორია ფუნქციების კომპლექსი ცვლადი წვლილია საფუძველი ტოპოლოგია - მეცნიერების სივრცე და მისი თვისებები.

რა დიფერენციალური განტოლებები?

ბევრი ადამიანი ეშინია ფრაზა "დიფერენციალური განტოლება". თუმცა, ამ სტატიაში ჩვენ გადმოცემულია დეტალურად არსი ამ მატემატიკური ინსტრუმენტი, რომელიც რეალურად არ არის ისეთი რთული, როგორც ჩანს, ამ სათაურით. იმისათვის, რომ დაიწყოს ლაპარაკი პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება, თქვენ უნდა გაეცნოს ძირითადი ცნებები, არსებითად დაკავშირებულია ამ განმარტება. და ჩვენ დავიწყებთ ერთად დიფერენციალური.

დიფერენციალური

ბევრი ადამიანი ვიცი, ეს ტერმინი წლიდან საშუალო სკოლა. თუმცა, ჯერ კიდევ დაეფუძნება იგი დეტალურად. წარმოიდგინეთ გრაფა ფუნქცია. ჩვენ შეიძლება გაიზარდოს მას იმდენად, რომ მისი ნებისმიერი სეგმენტი ხდება სწორი ხაზი. იგი წავა ორი ქულა, რომელიც უსასრულოდ ახლოს არიან ერთმანეთთან. შორის განსხვავება მათი კოორდინატები (x და y) არის უსასრულოდ. და მას უწოდებენ დიფერენციალური და გმირები დანიშნოს dy (დიფერენცირებული y) და dx (დიფერენციალური of x). ეს მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ დიფერენცირებული არ არის საბოლოო ღირებულება, და ეს არის, მნიშვნელობა და ძირითადი ფუნქცია.

და ახლა თქვენ უნდა განიხილოს შემდეგი ელემენტები, რომელიც ჩვენ უნდა ავუხსნათ დიფერენციალური განტოლება კონცეფცია. ეს - წარმოებული.

წარმოებული

ყველა ჩვენგანი უნდა მსმენია სკოლაში და ამ ცნებას. ისინი აცხადებენ, რომ წარმოებული - არის ზრდის ან შემცირება ფუნქცია. თუმცა, ეს განმარტება უფრო გაუგებარია. მოდით ცდილობენ ახსნას წარმოებული თვალსაზრისით differentials. მოდით დავუბრუნდეთ უსასრულოდ ინტერვალის ფუნქცია ორი ქულა, რომელიც მდებარეობს მინიმუმ მანძილი ერთმანეთს. მაგრამ მაშინაც კი, მიღმა ამ მანძილის ფუნქცია არის დრო, რომ შეიცვალოს გარკვეული მნიშვნელობა. და აღწერს, რომ ცვლილება და ამუშავება წარმოებული, რომელიც სხვაგვარად უნდა ჩაიწეროს, როგორც თანაფარდობა დიფერენციალი: f (x) = df / dx.

ახლა აუცილებელია განიხილოს ძირითადი თვისებები წარმოებული. არსებობს მხოლოდ სამი:

1. წარმოებული თანხა ან განსხვავება, შეიძლება თანხა ან სხვაობა წარმოებულები: (a + b) = a + b ", და (ბ) '= â'-ბ".
2. მეორე ქონება უკავშირდება გამრავლება. წარმოებული სამუშაოების - არის თანხა სამუშაოები ერთი ფუნქცია კიდევ წარმოებული: (a * ბ) = a * b + a * b ".
3. წარმოებული განსხვავება შეიძლება იყოს როგორც წერილობითი, შემდეგი განტოლების: (a / b) = (a * ba * ბ) / b ^2.

ყველა ეს თვისებები მოდის მოსახერხებელი გადაჭრის დიფერენციალური განტოლებები პირველ რიგში.

გარდა ამისა, არსებობს ნაწილობრივი წარმოებულები. დავუშვათ, რომ ჩვენ გვაქვს ფუნქცია z, რომელიც დამოკიდებულია ცვლადები x და y. გამოვთვალოთ ნაწილობრივი წარმოებული ამ ფუნქციას, მაგალითად, x, ჩვენ უნდა მიიღოს ცვლადი y მუდმივი და ადვილი დიფერენცირება.

განუყოფელი

კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი კონცეფცია - განუყოფელი. სინამდვილეში ეს არის საპირისპირო წარმოებული. Integrals რამდენიმე ტიპის, მაგრამ მარტივი გადაწყვეტილებები დიფერენციალური განტოლებები, ჩვენ გვჭირდება ყველაზე ტრივიალური განუსაზღვრელი ინტეგრალები.

ასე რომ, რა არის განუყოფელი? მოდით ვთქვათ, ჩვენ გვაქვს გარკვეული ურთიერთობის f x. ჩვენ ვიღებთ მისგან განუყოფელი და მიიღოს ფუნქცია F (x) (ეს ხშირად არის მოხსენიებული, როგორც პრიმიტიული), რომელიც არის წარმოებული ორიგინალური ფუნქცია. ამიტომ F (x) = f (x). ეს ასევე ნიშნავს, რომ განუყოფელი წარმოებული ტოლია ორიგინალური ფუნქცია.

გადაჭრის დიფერენციალური განტოლებები ეს ძალიან მნიშვნელოვანია გავიგოთ და ფუნქცია განუყოფელი, მას შემდეგ, რაც ძალიან ხშირად მათ გადაწყვეტას.

განტოლებები სხვადასხვა დამოკიდებულია მათი ბუნება. შემდეგი განყოფილება ჩვენ შევხედოთ ტიპის პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებათა და შემდეგ ისწავლონ მოგვარება მათ.

კატეგორიები დიფერენციალური განტოლებები

"Diffury" იყოფა ბრძანებით წარმოებულები ჩართული მათ. ამდენად, არ არის პირველი, მეორე, მესამე ან მეტი მიზნით. ისინი ასევე შეიძლება დაიყოს რამდენიმე კლასი: ჩვეულებრივი და ნაწილობრივი.

ამ სტატიაში ჩვენ განვიხილავთ ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებების პირველი მიზნით. მაგალითები და გადაწყვეტილებები განვიხილავთ ქვემოთ. ჩვენ მიგვაჩნია, რომ მხოლოდ TAC იმიტომ, რომ ეს არის ყველაზე გავრცელებული ტიპის განტოლებები. ჩვეულებრივი იყოფა subspecies: ერთად separable ცვლადები, ერთგვაროვანი და ჰეტეროგენული. შემდეგი თქვენ შეისწავლით თუ როგორ ისინი განსხვავდებიან ერთმანეთისგან, და ისწავლონ მათ მოგვარებას.

გარდა ამისა, ეს განტოლებები შეიძლება შერწყმული, ისე, რომ შემდეგ მივიღებთ სისტემის დიფერენციალური განტოლებები პირველი მიზნით. ასეთი სისტემები, ასევე შევხედოთ და ისწავლონ მოგვარება.

რატომ ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ პირველი მიზნით? იმის გამო, რომ აუცილებელია დაიწყოს მარტივი და აღწერს ყველა ასოცირებული დიფერენციალური განტოლებები, ერთ სტატიაში შეუძლებელია.

განტოლებები separable ცვლადები

ეს არის ალბათ ყველაზე მარტივი პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებები. ეს არის მაგალითები, რომ შეიძლება ჩაიწეროს როგორც: y '= f (x) * f (y). იმისათვის, რომ გადავჭრათ ეს ჩვენ გვჭირდება წარმომადგენლობა ფორმულა წარმოებული, როგორც თანაფარდობა დიფერენციალი: y '= dy / dx. ეს ჩვენ მიიღოს განტოლება: dy / dx = f (x) * f (y). ახლა ჩვენ შეგვიძლია მივმართოთ მეთოდით გადაჭრის სტანდარტული მაგალითები: ცალკე ცვლადები ნაწილები, ანუ სწრაფი წინ ყველა ცვლადი y იმ ნაწილში, სადაც არ არის dy, და ასევე ცვლადი x ... ჩვენ მიიღოს განტოლება ფორმა: dy / f (y) = f (x) dx, რომელიც მიიღწევა აღების ინტეგრალები ორ ნაწილად. ნუ დაგავიწყდებათ შესახებ მუდმივი, რომ გსურთ დააყენა ინტეგრაციის შემდეგ.

გამოსავალი ნებისმიერი "diffura" - ეს არის ფუნქცია x, y (ჩვენს შემთხვევაში), ან თუ არ არის რიცხვითი მდგომარეობაში, პასუხი არის ნომერი. მოდი, ვნახოთ, კონკრეტული მაგალითი მთელი კურსი გადაწყვეტილება:

y '= 2y * sin (x)

ტრანსფერი ცვლადები სხვადასხვა მიმართულებით:

dy / y = 2 * sin (x) dx

ახლა მიიღოს ინტეგრალები. ყველა მათგანი გვხვდება სპეციალური მაგიდასთან ინტეგრალები. და მივიღებთ:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

საჭიროების შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გამოვხატოთ "Y" როგორც ფუნქცია "X". ახლა შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ჩვენი დიფერენციალური განტოლება მოგვარდება, თუ არ არის მითითებული მდგომარეობაში. შეიძლება მითითებული მდგომარეობა, მაგალითად, y (n / 2) = e. მაშინ ჩვენ უბრალოდ ჩაანაცვლებს ღირებულება ამ ცვლადის გადაწყვეტილება და ღირებულება, მუდმივი. ჩვენს მაგალითად, ეს არის 1.

ერთგვაროვანი პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებათა

ახლა უფრო რთული ნაწილები. ერთგვაროვანი პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებათა შეიძლება ჩაიწეროს ზოგადი სახით, როგორც: y '= z (x, y). აღსანიშნავია, რომ უფლება ფუნქცია ორი ცვლადები არის ერთიანი, და ეს არ შეიძლება დაიყოს ორ დამოკიდებულია: z x და z შ. შეამოწმეთ თუ განტოლება არის ერთგვაროვანი, თუ არა, საკმაოდ მარტივია: ჩვენ ჩანაცვლებითი x = k * x და y = k * y. ახლა ჩვენ გაწყვიტა k. თუ ეს ასო დაეცა, მაშინ განტოლება ერთგვაროვანი და შეგიძლიათ უსაფრთხოდ გაგრძელება მისი გადაწყვეტა. ვეძებთ წინ, ჩვენ ვამბობთ, პრინციპი გადაწყვეტა ეს მაგალითები არის ასევე ძალიან მარტივია.

ჩვენ გვჭირდება, რათა ცვლილება: y = t (x) * x, სადაც t - ფუნქცია, რომელიც ასევე დამოკიდებულია x. მაშინ ჩვენ შეგვიძლია გამოვხატოთ წარმოებული: y '= t' (x) * x + t. შემცვლელი ეს ყველაფერი ჩვენი ორიგინალური განტოლება და გამარტივების, ჩვენ გვაქვს მაგალითი გამოყოფის ცვლადები t, როგორც x. გადაწყვიტოს იგი და მიიღოს დამოკიდებულება t (x). როდესაც მივიღეთ, უბრალოდ შეიცვალა ჩვენი წინა ცვლილება y = t (x) * x. მაშინ ვიღებთ დამოკიდებულება y on x.

უფრო გასაგები რომ იყოს, ჩვენ უნდა გვესმოდეს, მაგალითად: x * y '= yx * e y / x.

როდესაც შემოწმების ჩანაცვლება ყველა მცირდება. ასე რომ, განტოლება მართლაც ერთგვაროვანი. ახლა, რათა კიდევ ერთი ცვლილება, ჩვენ ვისაუბრეთ: y = t (x) * x და y '= t' (x) * x + t (x). მას შემდეგ, რაც გამარტივების შემდეგი განტოლებით: t '(x) * x = -e ტ. ჩვენ გადაწყვეტთ, რომ მიიღოთ ნიმუში გაყოფილი ცვლადები და ^{მივიღებთ: e -t = ln (C *} x). ჩვენ უბრალოდ უნდა შეცვალოს t შ / x (რადგან თუ y = T * x, მაშინ t = y / x), და მივიღებთ ^{პასუხს: e-y / x = ln (} x * C).

წრფივი დიფერენციალური განტოლება პირველი რიგის

დროა განიხილოს სხვა ფართო თემას. ჩვენ ვეძებთ ჰეტეროგენული პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებები. როგორ განსხვავდებიან ისინი წინა ორი? მოდით წინაშე იგი. Linear პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებების ზოგადი სახით განტოლება შეიძლება ჩაიწეროს ამით: y '+ g (x) * y = z (x). უნდა განმარტა, რომ z (x) და g (x) შეიძლება იყოს მუდმივი ღირებულებები.

აი მაგალითად: y '- y * x = x ^2.

არსებობს ორი გზა უნდა გადაწყვიტოს, და ჩვენ იმისათვის, მოდი, ვნახოთ, ორივე მათგანი. პირველი - მეთოდი ვარიაციით თვითნებური მუდმივები.

გადაწყვიტოს განტოლება ამ სახით, აუცილებელია აიგივებს პირველი მარჯვენა მხარეს ნულოვანი, და გადაწყვიტოს შედეგად განტოლება რომელიც მას შემდეგ, რაც გადაცემის ნაწილები ხდება:

y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

ახლა აუცილებელია შეცვლის მუდმივი C ₁ ფუნქცია v (x), რომელიც ჩვენ ვიპოვით.

y = v * e ^{x2 / 2.}

დახაზეთ ჩანაცვლება წარმოებული:

^{y '= v * e x2} / ² -x * v * e ^{x2 / 2.}

და შემცვლელი ამ გამონათქვამების თავდაპირველ განტოლებაში:

v * e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

თქვენ ხედავთ, რომ მარცხენა მხარეს ორი თვალსაზრისით მცირდება. თუ რაიმე მაგალითად, რომ არ მოხდეს, მაშინ არ კეთდება რაღაც. ჩვენ ვაგრძელებთ:

v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

ახლა ჩვენ გადაჭრა ჩვეულებრივი განტოლება, რომელშიც გსურთ ცალკე ცვლადები:

dv / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{- x2 / 2} dx.

ამოიღონ განუყოფელი, ჩვენ უნდა მიმართოს ინტეგრაციის ნაწილები აქ. თუმცა, ეს არ არის თემა ამ სტატიაში. თუ თქვენ დაინტერესებული, შეგიძლიათ ვისწავლოთ საკუთარი განახორციელოს ასეთი ქმედებები. ეს არ არის რთული, და საკმარისი უნარი და ზრუნვა არ არის დრო შრომატევადი.

გულისხმობდა მეორე მეთოდი გადაწყვეტა არაერთგვაროვანი განტოლებები: ბერნულის მეთოდი. რა მიდგომა უფრო სწრაფად და იოლად - ეს თქვენ.

ასე რომ, როდესაც საქმე ამ მეთოდით, ჩვენ გვჭირდება, რათა ცვლილება: y = k * n. აქ, K და n - ზოგიერთი ფუნქციები დამოკიდებულია x. მაშინ წარმოებული ჰგავს: y '= k * n + k * n'. ჩაანაცვლებს ორი ცვლილების განტოლება:

k * n + k * n + x * K * n = x ^2.

Group up:

k * n + k * ( n + x * n) = x ^2.

ახლა აუცილებელია ტოლფასია ნულოვანი, რომ არის ფრჩხილებში. ახლა კი, თუ გავაერთიანებთ ორი შედეგად განტოლებები, ვიღებთ სისტემის პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებათა უნდა გადაწყდეს:

n '+ x * n = 0;

k * n = x ^2.

პირველი თანასწორობის გადაწყვიტოს, თუ როგორ ჩვეულებრივი განტოლება. ამისათვის, თქვენ უნდა გამოეყოს ცვლადები:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

ჩვენ ვიღებთ განუყოფელი და ვიღებთ: ln (n) = x ^2/2. ამის შემდეგ, თუ ჩვენ გამოვხატავთ n:

n = e ^{x2 / 2.}

ახლა შეიცვალა შედეგად განტოლების მეორე განტოლება:

k * e ^{x2 / 2} = x ^2.

და გარდაქმნის, ვიღებთ იგივე განტოლება, როგორც პირველი მეთოდი:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

ჩვენ ასევე არ განიხილავს რეაგირებისთვის. განცხადებაში ნათქვამია, რომ პირველ რიგში პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებათა გადაწყვეტა იწვევს მნიშვნელოვანი სირთულეები. თუმცა, ღრმა immersion in თემაზე იწყება მისაღებად უკეთესი და უკეთესი.

სად არიან დიფერენციალური განტოლებები?

ძალიან აქტიური დიფერენციალური განტოლებები გამოიყენება ფიზიკის, როგორც თითქმის ყველა ძირითადი კანონები იწერება დიფერენციალურ ფორმას, და იმ ფორმულები, რომ ჩვენ ვხედავთ - გამოსავალი ამ განტოლებები. ქიმიის, ისინი გამოიყენება იმავე მიზეზით: ძირითადი კანონები მიიღება მათ. ბიოლოგიის, დიფერენციალური განტოლებები გამოიყენება მოდელზე ქცევის სისტემები, როგორიცაა მსხვერპლი - მტაცებელი. ისინი ასევე შეიძლება გამოყენებული იქნას, რათა შეიქმნას მოდელები რეპროდუქცია, მაგალითად, კოლონიები მიკროორგანიზმები.

როგორც დიფერენციალური განტოლებები დაეხმაროს ცხოვრებაში?

პასუხი ამ კითხვაზე მარტივია: არაფერი. თუ თქვენ არ ხართ მეცნიერი და ინჟინერი, ნაკლებად სავარაუდოა, რომ ისინი სასარგებლო იქნება. თუმცა, არ დაშავებულა, თუ რა დიფერენციალური განტოლება და ეს საკითხი გადაწყდება განვითარებას. და შემდეგ კითხვაზე, შვილი ან ქალიშვილი, "რა დიფერენციალური განტოლება?" არ დააყენა თქვენ ჩიხი. ისე, თუ თქვენ ხართ მეცნიერი და ინჟინერი, მაშინ თქვენ იცით, რომ მნიშვნელოვანია ამ თემაზე ნებისმიერი მეცნიერების. მაგრამ რაც მთავარია, რომ ახლა კითხვაზე, "როგორ უნდა გადაწყდეს დიფერენციალური განტოლება პირველი რიგის?" თქვენ ყოველთვის შეძლებთ მისცეს პასუხი. ვეთანხმები, ეს ყოველთვის კარგია, როდესაც ხვდები, რომ ის, რაც ხალხს კი ეშინია, რათა გაირკვეს.

მთავარი პრობლემა შესწავლა

მთავარი პრობლემა გაგება ეს თემა ცუდი ჩვევა ინტეგრაცია და დიფერენციაცია ფუნქციები. თუ თქვენ არასასიამოვნო ვივარაუდოთ წარმოებულები და ინტეგრალები, ალბათ ღირს უფრო მეტი უნდა ვისწავლოთ, ვისწავლოთ სხვადასხვა მეთოდები ინტეგრაცია და დიფერენციაცია და მხოლოდ ამის შემდეგ შესწავლა მასალა, რომელიც უკვე აღწერილია სტატიაში.

ზოგიერთი ადამიანი გაგიკვირდეთ, dx შეიძლება გადაეცეს, როგორც ადრე (სკოლა) ამტკიცებდა, რომ ფრაქციას dy / dx განუყოფელია. მაშინ თქვენ უნდა წაიკითხოთ ლიტერატურა წარმოებული და მესმის, რომ ეს არის დამოკიდებულება უსასრულოდ მცირე რაოდენობით, რაც შეიძლება მანიპულირება გადაჭრის განტოლებები.

ბევრი ადამიანი არ დაუყოვნებლივ გააცნობიეროს, რომ გამოსავალი დიფერენციალური განტოლებები პირველი რიგის - ეს არის ხშირად ფუნქცია ან neberuschiysya განუყოფელი, და ეს ილუზია, აძლევს მათ ბევრი უბედურება.

რა შეიძლება იყოს შესწავლილი, რათა უკეთ გავიგოთ?

ეს არის საუკეთესო დაიწყოს შემდგომი immersion შევიდა მსოფლიოს დიფერენციალურ მათემატიკურ სპეციალიზებული სახელმძღვანელოები, მაგალითად, მათემატიკური ანალიზი სტუდენტებისთვის არასამთავრობო მათემატიკის სპეციალობით. ამის შემდეგ შეგიძლიათ გადაადგილება, რათა უფრო სპეციალიზებული ლიტერატურა.

განცხადებაში ნათქვამია, რომ, გარდა ამისა, დიფერენციალური, ჯერ კიდევ არსებობს ინტეგრალური განტოლებები, ასე რომ თქვენ ყოველთვის აქვს რაღაც იბრძოლოს და რა უნდა ისწავლონ.

დასკვნა

იმედი გვაქვს, რომ ამ სტატიის წაკითხვის შემდეგ თქვენ გაქვთ იდეა რა დიფერენციალური განტოლებები და როგორ უნდა გადაწყვიტოს მათ სწორად.

ნებისმიერ შემთხვევაში, მათემატიკა არანაირად გამოგვადგება ცხოვრებაში. იგი ვითარდება ლოგიკა და ყურადღებას, რომლის გარეშე ყველა ადამიანი, როგორც უქმნელი.